知识点：3.集合的基本运算

B

【考点】交集及其运算．

【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．

【分析】求解函数的值域化简A，求解对数不等式化简B，然后取交集得答案．

【解答】解：∵A={y|y=2x+1}=（1，+∞），B={x|lnx≥0}=（1，+∞），

∴A∩B=（1，+∞）．

故选：B．

【点评】本题考查交集及其运算，考查了函数值域的求法，训练了对数不等式的解法，是基础题．

知识点：5.奇偶性与周期性

B

【考点】函数奇偶性的性质．

【专题】计算题；方程思想；转化法；函数的性质及应用．

【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．

【解答】解：∵定义在R的奇函数f（x），当x＜0时，f（x）=﹣x2+x，

∴f（2）=﹣f（﹣2）=﹣[﹣（﹣2）2﹣2]=6，

故选：B

【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．

知识点：3.平面向量的基本定理及其坐标表示

A

【考点】平面向量的坐标运算．

【专题】平面向量及应用．

【分析】设出，利用向量的坐标运算求解即可．

【解答】解：设=（x，y），

向量=（1，2），2+=（3，2），

可得（2+x，4+y）=（3，2），解得x=1，y=﹣2．

∴=（1，﹣2）．

故选：A．

【点评】本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．

知识点：3.单调性与最大（小）值

D

【考点】函数单调性的性质．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】由函数的单调性的性质可得 0≤2x﹣1＜，由此求得x的取值范围．

【解答】解：∵函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，则满足f（2x﹣1）＜f（），

∴0≤2x﹣1＜，解得≤x＜，

故选D．

【点评】本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题．

知识点：15.函数的图像

C

【考点】函数的图象．

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】逐一判断各个函数在它的定义域上的单调性以及奇偶性，从而得出结论．

【解答】解：由于y=﹣在定义域{x|x≠0}上没有单调性，故排除A；

由于y=lg（﹣1）的定义域不关于原点对称，故它不是奇函数，故它的图象一定不关于原点对称，故排除B；

由于y=2x在定义域R上是单调递增函数，且是奇函数，故它的图象关于原点对称，故满足条件；

由于 y=2x+2﹣x是偶函数，它的图象关于y轴对称，故不满足条件，

故选：C．

【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断，函数的图象特征，属于中档题．

知识点：13.函数与方程

B

【考点】函数零点的判定定理．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】利用函数的单调性和函数零点的判定定理即可得出．

【解答】解：由函数f（x）=x5+x﹣3可知函数f（x）在R上单调递增，又f（1）=1+1﹣3=﹣1＜0，f（2）=25+2﹣3＞0，

∴f（1）f（2）＜0，

因此函数f（x）在（1，2）上存在唯一零点．

故选B．

【点评】本题考查了函数的单调性和函数零点的判定定理，属于基础题．

知识点：4.和角公式与倍（半）角公式

A

【考点】两角和与差的余弦函数．

【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．

【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式，求得cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]的值．

【解答】解：∵α，β都是锐角，且，

∴cosα==，cos（α﹣β）==，

则cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=+

=，

故选：A．

【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式的应用，属于基础题．

知识点：7.函数y=Asin(wx+@)+B

D

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【专题】三角函数的图像与性质．

【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得+φ=kπ，k∈z，由此根据|φ|＜求得φ的值．

【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）的图象，

再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，k∈z，∴φ=﹣，

故选：D．

【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．

知识点：3.导数在研究函数中的应用

B

【考点】对数函数的图象与性质．

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】根据对数函数的性质求出x的范围，令t（x）=﹣x2﹣2x+8，根据二次函数的性质求出t（x）的递减区间，从而结合复合函数的单调性求出函数y=ln（﹣x2﹣2x+8）的单调递减区间即可．

【解答】解：由题意得：﹣x2﹣2x+8＞0，解得：﹣4＜x＜2，

∴函数的定义域是（﹣4，2），

令t（x）=﹣x2﹣2x+8，对称轴x=﹣1，

∴t（x）在（﹣1，2）递减，

∴函数y=ln（﹣x2﹣2x+8）的单调递减区间是（﹣1，2），

故选：B．

【点评】本题考查了二次函数、对数函数的性质，考查复合函数的单调性问题，是一道基础题．

知识点：4.平面向量的数量积（夹角、模）

B

【考点】向量的模．

【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．

【分析】化简可得2﹣=（5，m），故（5，m）（﹣1，m）=0，从而求得m2=5，从而求||．

【解答】解：2﹣=2（2，m）﹣（﹣1，m）=（5，m），

∵（2﹣）⊥，

∴（5，m）（﹣1，m）=0，

即5﹣m2=0，即m2=5，

故||==3；

故选：B．

【点评】本题考查了平面向量的线性运算及数量积的应用，同时考查了向量的模的求法．

知识点：7.函数y=Asin(wx+@)+B

B

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．

【专题】三角函数的图像与性质．

【分析】结合函数的图象，由函数的最值求出A，由周期求出ω，再由求出φ的值．

【解答】解：由图可知A=2，，故ω=2，

又，

所以，

故，

又，

所以．

故选：B．

【点评】本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．

知识点：13.函数与方程

B

【考点】函数零点的判定定理．

【专题】数形结合；方程思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用．

【分析】函数f（x）=，通过对x分类讨论可得f（x）=．进而解出即可．

【解答】解：∵函数f（x）=，

∴f（x）=．

∴x∈（﹣∞，log23）时，f（f（x））=∈[0，3]，令f（f（x））=2，解得x=log2（1+log23）．

同理可得：x∈[log23，2）时， =2，解得x=．

x∈时， =2，解得x=．

时， =2，解得x=1+．

综上可得：函数g（x）=f[f（x）]﹣2的x零点个数为4．

故选：B．

【点评】本题考查了函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．

知识点：16函数值的大小比较

b＜a＜c

【考点】对数值大小的比较．

【专题】计算题．

【分析】由0＜a=0.32＜1，b=log20.3＜log21=0，c=20.3＞20=1，能判断a，b，c的大小关系．

【解答】解：∵0＜a=0.32＜1，

b=log20.3＜log21=0，

c=20.3＞20=1，

∴b＜a＜c．

故答案为：b＜a＜c．

【点评】本题考查a，b，c的大小关系的判断，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的性质的灵活运用．

知识点：4.和角公式与倍（半）角公式

【考点】二倍角的正弦．

【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值．

【分析】利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简所求后，利用特殊角的三角函数值即可得解．

【解答】解：2sin15°sin75°

=2sin15°sin（90°﹣15°）

=2sin15°cos15°

=sin30°

=．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．

知识点：4.和角公式与倍（半）角公式

【考点】两角和与差的正切函数．

【专题】计算题；方程思想；数学模型法；三角函数的求值．

【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系求出tanα+tanβ=，tanαtanβ=4，代入两角和的正切得答案．

【解答】解：∵tanα，tanβ是方程x2﹣3x+4=0的两个根，

∴tanα+tanβ=，tanαtanβ=4，

∴tan（α+β）=．

故答案为：．

【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系的应用，考查了两角和与差的正切，是基础题．

知识点：4.平面向量的数量积（夹角、模）

12

【考点】平面向量数量积的运算．

【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．

【分析】设菱形的边长为a，运用向量的加法运算和中点的向量表示，结合向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，运用整体代入，计算即可得到所求值．

【解答】解：设菱形的边长为a，

由=+，可得2=2+2+2，

即有16=2a2+2，

即a2+=8，

则=（+）（+）

=（+）（+）

=2+2+

=（a2+）=×8=12．

故答案为：12．

【点评】本题考查向量的运算，主要考查向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．

知识点：4.平面向量的数量积（夹角、模）

【考点】向量的模；平面向量数量积的运算；二倍角的正弦．

【专题】计算题．

【分析】（1）先求出和的坐标，根据化简可得cosα=sinα，再由α的范围求出α的值．

（2）根据，化简可得 （cosα+sinα ）=，再平方可得sin2α 的值．

【解答】解：（1）∵， =（cosα﹣3，sinα ），=（cosα，sinα﹣3），

∴（cosα﹣3）2+sin2α=cos2α+（sinα﹣3）2．

化简可得 cosα=sinα．

又，∴α=．

（2），则 （cosα﹣3）cosα+sinα （sinα﹣3）=﹣1，

化简可得 （cosα+sinα ）=．

平方可得 1+sin2α=，∴sin2α=﹣．

【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，求向量的模的方法，二倍角公式的应用，属于基础题．

知识点：4.平面向量的数量积（夹角、模）

【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．

【专题】综合题；函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．

【分析】（1）由向量数量积的坐标运算结合辅助角公式化简，再由周期求得ω，则函数解析式可求，由此求得f（x）的最大值及取得最大值时x的集合；

（2）由x得范围求得相位的范围，进一步求得f（x）在区间上的取值范围．

【解答】解：（1）f（x）==

==

=．

∵函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，

∴=π，解得ω=1，

∴f（x）=sin（2x）．

∴f（x）的最大值为，此时，即．

∴使f（x）取得最大值时x的集合为{x|}；

（2）由（1）得f（x）=sin（2x）．

∵0，

∴，

∴，

因此0≤，

即f（x）的取值范围为[0，]．

【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了三角函数的图象和性质，训练了平面向量数量积的坐标运算，是中档题．

知识点：14.函数的应用问题

【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】（1）当x∈（0，12]时，设f（x）=a（x﹣10）2+80，把点（12，78）代入能求出解析式；当x∈[12，40]时，设y=kx+b，把点B（12，78）、C（40，50）代入能求出解析式．

（2）由（1）的解析式，结合题设条件，列出不等式组，能求出老师就在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳

【解答】解：（1）当x∈（0，12]时，

设f（x）=a（x﹣10）2+80…

过点（12，78）代入得，

则…

当x∈[12，40]时，

设y=kx+b，过点B（12，78）、C（40，50）

得，即y=﹣x+90…

则的函数关系式为…

（2）由题意得，或…

得4＜x≤12或12＜x＜28，

4＜x＜28…

则老师就在x∈（4，28）时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．…

【点评】本题考查解析式的求法，考查不等式组的解法，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．

知识点：5.奇偶性与周期性

【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的图象；抽象函数及其应用．

【专题】计算题．

【分析】（1）已知任意x1，x2∈[0，]，都有f（x1+x2）=f（x1）f（x2），令x1=x2=，求出f（），根据=进行求解；

（2）已知f（x）为偶函数，再根据f（x）关于x=1对称，进行证明；

【解答】解；（1）∵f（1）=f（+）=f（）f（）=f2（）=a，

∴f（）=±

又∵f（）=f（+）=f2（）＞0，

∴f（）=同理可得f（）=

（2）∵f（x）是偶函数，

∴f（﹣x）=f（x）

又∵f（x）关于x=1对称，

∴f（x）=f（2﹣x）

∴f（x）=f（﹣x）=f[2﹣（﹣x）]=f（2+x） （x∈R）

这表明f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期．

【点评】此题主要考查函数的周期性，此类抽象函数的题，主要利用特殊值法，此题比较简单．

知识点：10.对数函数及其性质

【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断．

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．

【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断．

（2）根据对数函数的单调性，将不等式恒成立进行转化，利用参数分离法进行求解即可．

【解答】解：（1）因为＞解得x＞1或x＜﹣1，

所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），

函数f（x）为奇函数，证明如下：

由（I）知函数f（x）的定义域关于原点对称，

又因为f（﹣x）=loga=loga=loga（）﹣1=﹣loga=﹣f（x），

所以函数f（x）为奇函数…

（2）若对于x∈[2，4]，f（x）＞loga恒成立

即loga＞loga对x∈[2，4]恒成立

当a＞1时，即＞对x∈[2，4]成立．

则x+1＞，即（x+1）（7﹣x）＞m成立，

设g（x）=（x+1）（7﹣x）=﹣（x﹣3）2+16，

因为x∈[2，4]

所以g（x）∈[15，16]，

则0＜m＜15，

同理当0＜a＜1时，即＜对x∈[2，4]成立．

则x+1＜，即（x+1）（7﹣x）＜m成立，

设g（x）=（x+1）（7﹣x）=﹣（x﹣3）2+16，

因为x∈[2，4]

所以g（x）∈[15，16]，

则m＞16，

综上所述：a＞1时，0＜m＜15，

0＜a＜1时，m＞16 …．

【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及不等式恒成立问题问题，利用对数函数的单调性，利用参数分离法进行求解即可．

知识点：6.三角函数的图像与性质

【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．

【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；三角函数的求值．

【分析】（1）令t=cosθ∈[0，1]，可得，可得：g（t）在上单调递增，在上单调递减，又t=cosθ在上单调递减，令，即可解得函数f（x）的单调递增区间．

（2）由题意可得：，由，可得2﹣cosθ∈[1，2]，利用基本不等式即可得解m的取值范围．

【解答】解：（1）令t=cosθ∈[0，1]，可得：，

记，可得：g（t）在上单调递增，在上单调递减．

又t=cosθ在上单调递减．令，解得，

故函数f（x）的单调递增区间为．…

（2）由g（θ）＜﹣1得（2﹣cosθ）m＞2﹣cos2θ，

即：，

∵，

∴2﹣cosθ∈[1，2]，

∴，等号成立时cosθ=2﹣．

故：4﹣[（2﹣cosθ）+]的最大值是4﹣2．

从而m＞4﹣2．…

【点评】本题考查二次函数的图象和性质及恒成立问题，考查了基本不等式的应用，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．