(5分)若{2,3}⊊M⊊{1,2,3,4,5},则M的个数为()
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
知识点:2.集合间的基本关系
B
考点: 子集与真子集.
专题: 计算题;集合.
分析: 由题意,{2,3}⊊M⊊{1,2,3,4,5}可看成求集合{1,4,5}的非空真子集,从而求解.
解答: {2,3}⊊M⊊{1,2,3,4,5}可看成求集合{1,4,5}的非空真子集,
故23﹣2=6;
故选B.
点评: 本题考查集合的子集的求法,属于基础题.
(5分)函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域是()
A. (﹣,+∞) B. (﹣∞,﹣) C. (﹣,) D. (﹣,1)
知识点:2.定义域与值域
D
考点: 函数的定义域及其求法.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 根据函数f(x)的解析式,列出使解析式有意义的不等式组,求出解集即可.
解答: ∵函数f(x)=+lg(3x+1),
∴;
解得﹣<x<1,
∴函数f(x)的定义域是(﹣,1).
故选:D.
点评: 本题考查了求函数定义域的应用问题,解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组,是基础题目.
(5分)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是()
A. B. C. D.
知识点:3.空间几何体的表面积与体积
A
考点: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;旋转体(圆柱、圆锥、圆台).
专题: 计算题.
分析: 设圆柱底面积半径为r,求出圆柱的高,然后求圆柱的全面积与侧面积的比.
解答: 设圆柱底面积半径为r,则高为2πr,
全面积:侧面积=[(2πr)2+2πr2]:(2πr)2
=.
故选A.
点评: 本题考查圆柱的侧面积、表面积,考查计算能力,是基础题.
(5分)下列函数中既是奇函数,又是其定义域上的增函数的是()
A. y=x2 B. C. D. y=x﹣3
知识点:3.单调性与最大(小)值
C
考点: 奇偶性与单调性的综合.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 分别利用函数的奇偶性和单调性进行判断.
解答: y=x2为偶函数,所以A不合适.
的定义域为[0,+∞),所以函数为非奇非偶函数,所以B不合适.
为奇函数,且在定义域上为增函数,所以C正确.
y=x﹣3为奇函数,但在定义域内不单调.所以D不合适.
故选 C.
点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,要求熟练掌握常见基本初等函数的奇偶性和单调性的性质.
(5分)把正方形ABCD沿对角线BD折成直二角后,下列命题正确的是()
A. AB⊥BC B. AC⊥BD
C. CD⊥平面ABC D. 平面ABC⊥平面ACD
知识点:10.空间角与距离
B
考点: 平面与平面垂直的性质.
专题: 证明题;空间位置关系与距离.
分析: 取BD的中点为O连接OC、OA.取AC中点E,连接BE,DE,设正方形边长为1,根据平面与平面垂直的性质逐一判断即可.
解答: 取BD的中点为O连接OC、OA.
A,易证:△AOC≌△BOC,△ABC是正三角形,A不正确.
B,易证BD⊥平面AOC,B正确;
C,把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,AO⊥平面BCD,所以CD⊥BC、CD⊥OA,CD不垂直AC,C不正确;
D,易证:△ABC,△ADC是正三角形,取AC中点E,连接BE,DE,设正方形边长为1,则可求BE=DE=,BD=,
即有BE2+DE2=<2=BD2,可得∠BED≠,即可证命题不正确.
故选:B.
点评: 本题主要考察了平面与平面垂直的性质,线面垂直的判定,属于基本知识的考查.
(5分)已知函数f(x)=x2﹣4x,x∈[1,5),则此函数的值域为()
A. [﹣4,+∞) B. [﹣3,5) C. [﹣4,5] D. [﹣4,5)
知识点:2.定义域与值域
D
考点: 函数的值域.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 将二次函数的配方后,可知函数的对称轴方程,开口方向,结合图形得到函数图象的最高点和最低点,得到函数的最值,从而求出函数的值域,得到本题结论.
解答: ∵函数f(x)=x2﹣4x,
∴f(x)=(x﹣2)2﹣4,
∴图象是抛物线的一部分,抛物线开口向上,对称轴方程为:x=2,顶点坐标(2,﹣4).
∵x∈[1,5),
∴f(2)≤f(x)<f(5),
即﹣4≤f(x)<5.
故选D.
点评: 本题考查了二次函数的值域,本题思维直观,难度不大,属于基础题.
(5分)已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下的x,f(x)对应值表:
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
123.5
21.5
﹣7.82
11.57
﹣53.7
﹣26.7
﹣29.6
那么函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
知识点:13.函数与方程
B
考点: 函数零点的判定定理.
专题: 计算题.
分析: 由于f(2)f(3)<0,故连续函数f(x)在(2,3)上有一个零点,同理可得f(x)在(3,4)上有一个零点,在(4,5)上有一个零点,由此得出结论.
解答: 由于f(2)f(3)<0,故连续函数f(x)在(2,3)上有一个零点.
由于f(3)f(4)<0,故连续函数f(x)在(3,4)上有一个零点.
由于f(4)f(5)<0,故连续函数f(x)在(4,5)上有一个零点.
综上可得函数至少有3个零点,
故选B
点评: 本题考查函数零点的定义和判定定理的应用,属于基础题.
(5分)若函数f(x)在R上是单调递减的奇函数,则下列关系式成立的是()
A. f(3)<f(4) B. f(3)<﹣f(﹣4) C. ﹣f(﹣3)<f(﹣4) D. f(﹣3)>f(﹣4)
知识点:3.单调性与最大(小)值
C
考点: 奇偶性与单调性的综合.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 根据函数奇偶性和单调性之间的关系,即可得到结论.
解答: ∵函数f(x)在R上是单调递减的奇函数,
∴f(3)>f(4),故A错误,
f(3)>f(4)=﹣f(﹣4),故B错误,
﹣f(﹣3)=f(3)<f(﹣4),故C正确,
f(﹣3)<f(﹣4),故D错误,
故选:C
点评: 本题主要考查函数值的大小比较,根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键.
(5分)已知直线l在x轴上的截距为1,且垂直于直线y=x,则l的方程是()
A. y=﹣2x+2 B. y=﹣2x+1 C. y=2x+2 D. y=2x+1
知识点:1.直线的倾斜角、斜率与方程
A
考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系.
专题: 直线与圆.
分析: 利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出.
解答: 设垂直于直线y=x的直线方程为y=﹣2x+m.
令y=0,解得x==1,解得m=2.
∴直线l的方程是y=﹣2x+2.
故选:A.
点评: 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系,属于基础题.
(5分)若两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点在圆x2+y2=4上,则k的值是()
A. ﹣或﹣1 B. ﹣或1 C. ﹣或1 D. ﹣2或2
知识点:4.直线与圆的位置关系
B
考点: 直线与圆的位置关系.
专题: 直线与圆.
分析: 求出直线的交点坐标,代入圆的方程求解即可.
解答: 由,解得,
∵交点在圆x2+y2=4上,
∴(k﹣1)2+(3k﹣1)2=4,
即5k2﹣4k﹣1=0,解得k=1或﹣,
故选:B.
点评: 本题主要考查直线和圆的关系的应用,根据条件求出交点坐标是解决本题的关键.
(5分)圆台上、下底面积分别为π,4π,侧面积为6π,则该圆台的体积是 .
知识点:3.空间几何体的表面积与体积
考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积.
专题: 空间位置关系与距离.
分析: 通过圆台的底面面积,求出上下底面半径,利用侧面积公式求出母线长,然后求出圆台的高,即可求得圆台的体积.
解答: S1=π,S2=4π,∴r=1,R=2,
S=6π=π(r+R)l,∴l=2,∴h=.
∴V=π(1+4+2)×=π.
故答案为:π.
点评: 本题是基础题,通过底面面积求出半径,转化为求圆台的高,是本题的难点,考查计算能力,常考题.
(5分)对于函数y=()的值域 .
知识点:2.定义域与值域
考点: 函数的值域.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 首先利用换元法求出二次函数的值域,进一步求出复合函数的单调性,最后求出复合函数的值域.
解答: 设z==,
则:当x=时,函数
由于函数y=在定义域内是单调递减函数,
所以:当时,函数
函数的值域为:(
故答案为:
点评: 本题考查的知识要点:复合函数的性质的应用,利用内函数的值域求整体的值域.属于基础题型.
(5分)若平面α∥平面β,点A,C∈α,点B,D∈β,且AB=48,CD=25,又CD在平面β内的射影长为7,则AB和平面β所成角的度数是 .
知识点:10.空间角与距离
30°
考点: 直线与平面所成的角.
专题: 计算题.
分析: 要求AB和平面β所成角,关键是求出两平面距离,由CD=25,CD在平面β内的射影长为7可知,从而得解.
解答: 由题意,因为CD=25,CD在β内的射影长为7,所以两平面距离为24,
设AB和平面β所成角的度数为θ
∴sinθ=,
∴θ=30°
故答案为:30°
点评: 本题以面面平行为载体,考查直线与平面所成的角,关键是求出两平行平面间的距离.
(5分)若,则(a+1)﹣2+(b+1)﹣2的值是 .
知识点:7.指数与指数幂的运算
考点: 有理数指数幂的化简求值.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 由于=,=2+.利用乘法公式及其分母有理化即可得出.
解答: ∵=,=2+.
∴(a+1)﹣2+(b+1)﹣2==+==.
故答案为:.
点评: 本题考查了乘法公式及其分母有理化,属于基础题.
(12分)若0≤x≤2,求函数y=的最大值和最小值.
知识点:8.指数函数及其性质
考点: 复合函数的单调性.
专题: 函数的性质及应用.
分析: y=﹣3×2x+5=(2x)2﹣3×2x+5,令2x=t,转化为关于t的二次函数,在t的范围内即可求出最值.
解答: y=﹣3×2x+5=(2x)2﹣3×2x+5
令2x=t,则y=t2﹣3t+5=+,
因为x∈[0,2],所以1≤t≤4,
所以当t=3时,ymin=,
当t=1时,ymax=.
所以函数的最大值为,最小值为.
点评: 本题考查有理数指数幂的运算及二次函数的最值问题,本题运用了转化思想.
(12分)求过点A(2,﹣1),圆心在直线y=﹣2x上,且与直线x+y﹣1=0相切的圆的方程.
知识点:4.直线与圆的位置关系
考点: 圆的切线方程.
专题: 计算题;直线与圆.
分析: 设出圆的方程,利用已知条件列出方程,求出圆的几何量,即可得到圆的方程.
解答: 设圆心为(a,﹣2a),圆的方程为(x﹣a)2+(y+2a)2=r2(2分)
则(6分)
解得a=1,(10分)
因此,所求得圆的方程为(x﹣1)2+(y+2)2=2(12分)
点评: 本题考查圆的方程的求法,直线与圆的位置关系的应用,考查计算能力.
(14分)已知函数.
(1)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
(2)证明:函数f(x)在内是增函数.
知识点:3.单调性与最大(小)值
考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.
专题: 函数的性质及应用.
分析: (1)利用函数奇偶性的定义去判断.(2)利用函数单调性的定义去证明.
解答: (1)函数的定义域是(﹣∞,0)∪(0,+∞)(1分)
∵,
∴f(x)是奇函数.(5分)
(2)设,且x1<x2 (6分)
则=,(7分)
∵,
∴x1﹣x2<0,x1x2﹣2>0,x1x2>0(10分)
∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)(11分)
故f(x)在内是增函数.(12分)
点评: 本题主要考查函数奇偶性的判断和单调性的判断,利用函数单调性和奇偶性的定义是解决本题的关键.
(14分)如图,棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中
(1)求证:AC⊥平面B1D1DB;
(2)求三棱锥B﹣ACB1的体积.
知识点:3.空间几何体的表面积与体积
考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定.
专题: 计算题;空间位置关系与距离.
分析: (1)利用线面垂直的判定定理,即可证明AC⊥平面B1D1DB;
(2)利用等体积转化,即可求三棱锥B﹣ACB1的体积.
解答: (1)证明:∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
∴BB1⊥AC (3分)
在正方形ABCD中,AC⊥BD,(5分)
∵BB1∩BD=B,
∴AC⊥平面B1D1DB; (7分)
(2)三棱锥B﹣ACB1的体积=三棱锥C﹣ABB1的体积=×CB×=(14分)
点评: 本题考查线面垂直的判定定理,考查等体积转化求三棱锥B﹣ACB1的体积,属于中档题.
(12分)某化工厂生产的一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%.若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?(已知:lg2=0.3010,lg3=0.4771)
知识点:14.函数的应用问题
考点: 指数函数的实际应用.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 设出过滤次数,由题意列出基本不等式,然后通过求解指数不等式得n的取值.
解答: 设过滤n次,则,
即,∴n≥.
又∵n∈N,∴n≥8.
即至少要过滤8次才能达到市场要求.
点评: 本题考查了等比数列,考查了等比数列的通项公式,训练了指数不等式的解法,是基础题.
(16分)已知函数f(x)=lg(ax﹣bx),a>1>b>0
(1)求f(x)的定义域;
(2)在函数f(x)的图象上是否存在不同的两点,使过这两点的直线平行于x轴;
(3)当a,b满足什么条件时,f(x)在(1,+∞)上恒取正值.
知识点:10.对数函数及其性质
考点: 对数函数的单调性与特殊点;对数函数的定义域.
专题: 计算题.
分析: (1)由对数函数的真数大于零求解.
(2)当函数在定义域上单调时,则不存在,当函数在定义域上不单调时,则存在,所以要证明函数是否单调,可用定义法,也可用导数法研究.
(3)由“f(x)在(1,+∞)上恒取正值”则需函数的最小值非负即可,由(2)可知是增函数,所以只要f(1)≥0即可.
解答: (1)由ax﹣bx>0得,
由于所以x>0,
即f(x)的定义域为(0,+∞)
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2
;
f(x1)﹣f(x2)=
∵a>1>b>0,
∴y=ax在R上为增函数,y=bx在R上为减函数,
∴
∴,即
又∵y=lgx在(0,+∞)上为增函数,
∴f(x1)<f(x2)
∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.
所以任取x1≠x2则必有y1≠y2故函函数f(x)的图象L不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴.
(3)因为f(x)是增函数,所以当x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1),
这样只需f(1)=lg(a﹣b)≥0,
即当a﹣b≥1时,f(x)在(1,+∞)上恒取正值.
点评: 本题主要考查函数的定义域,单调性及最值,这是常考常新的类型,在转化问题和灵活运用知识,方法方法要求较高.