广东省广州市增城市2014-2015学年高一上学期期末数学试题

(5分)若{2,3}⊊M⊊{1,2,3,4,5},则M的个数为()

              A.              5              B.              6              C.              7              D.              8

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知识点:2.集合间的基本关系

B

考点: 子集与真子集.

专题: 计算题;集合.

分析: 由题意,{2,3}M{1,2,3,4,5}可看成求集合{1,4,5}的非空真子集,从而求解.

解答: {2,3}M{1,2,3,4,5}可看成求集合{1,4,5}的非空真子集,

故23﹣2=6;

故选B.

点评: 本题考查集合的子集的求法,属于基础题.

     

(5分)函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域是()

              A.              (﹣,+∞)              B.              (﹣∞,﹣)              C.              (﹣)              D.              (﹣,1)

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知识点:2.定义域与值域

D

考点: 函数的定义域及其求法.

专题: 函数的性质及应用.

分析: 根据函数f(x)的解析式,列出使解析式有意义的不等式组,求出解集即可.

解答: ∵函数f(x)=+lg(3x+1),

解得﹣<x<1,

∴函数f(x)的定义域是(﹣,1).

故选:D.

点评: 本题考查了求函数定义域的应用问题,解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组,是基础题目.

     

(5分)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是()

              A.                            B.                            C.                            D.             

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知识点:3.空间几何体的表面积与体积

A

考点: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;旋转体(圆柱、圆锥、圆台).

专题: 计算题.

分析: 设圆柱底面积半径为r,求出圆柱的高,然后求圆柱的全面积与侧面积的比.

解答: 设圆柱底面积半径为r,则高为2πr,

全面积:侧面积=[(2πr)2+2πr2]:(2πr)2

=

故选A.

点评: 本题考查圆柱的侧面积、表面积,考查计算能力,是基础题.

     

(5分)下列函数中既是奇函数,又是其定义域上的增函数的是()

              A.              y=x2              B.                            C.                            D.              y=x﹣3

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知识点:3.单调性与最大(小)值

C

考点: 奇偶性与单调性的综合.

专题: 函数的性质及应用.

分析: 分别利用函数的奇偶性和单调性进行判断.

解答: y=x2为偶函数,所以A不合适.

的定义域为[0,+∞),所以函数为非奇非偶函数,所以B不合适.

为奇函数,且在定义域上为增函数,所以C正确.

y=x﹣3为奇函数,但在定义域内不单调.所以D不合适.

故选 C.

点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,要求熟练掌握常见基本初等函数的奇偶性和单调性的性质.

     

(5分)把正方形ABCD沿对角线BD折成直二角后,下列命题正确的是()

              A.              AB⊥BC              B.              AC⊥BD

              C.              CD⊥平面ABC              D.              平面ABC⊥平面ACD

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知识点:10.空间角与距离

B

考点: 平面与平面垂直的性质.

专题: 证明题;空间位置关系与距离.

分析: 取BD的中点为O连接OC、OA.取AC中点E,连接BE,DE,设正方形边长为1,根据平面与平面垂直的性质逐一判断即可.

解答: 取BD的中点为O连接OC、OA.

A,易证:△AOC≌△BOC,△ABC是正三角形,A不正确.

B,易证BD⊥平面AOC,B正确;

C,把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,AO⊥平面BCD,所以CD⊥BC、CD⊥OA,CD不垂直AC,C不正确;

D,易证:△ABC,△ADC是正三角形,取AC中点E,连接BE,DE,设正方形边长为1,则可求BE=DE=,BD=

即有BE2+DE2=<2=BD2,可得∠BED≠,即可证命题不正确.

故选:B.

点评: 本题主要考察了平面与平面垂直的性质,线面垂直的判定,属于基本知识的考查.

     

(5分)已知函数f(x)=x2﹣4x,x∈[1,5),则此函数的值域为()

              A.              [﹣4,+∞)              B.              [﹣3,5)              C.              [﹣4,5]              D.              [﹣4,5)

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知识点:2.定义域与值域

D

考点: 函数的值域.

专题: 函数的性质及应用.

分析: 将二次函数的配方后,可知函数的对称轴方程,开口方向,结合图形得到函数图象的最高点和最低点,得到函数的最值,从而求出函数的值域,得到本题结论.

解答: ∵函数f(x)=x2﹣4x,

∴f(x)=(x﹣2)2﹣4,

∴图象是抛物线的一部分,抛物线开口向上,对称轴方程为:x=2,顶点坐标(2,﹣4).

∵x[1,5),

∴f(2)≤f(x)<f(5),

即﹣4≤f(x)<5.

故选D.

点评: 本题考查了二次函数的值域,本题思维直观,难度不大,属于基础题.

     

(5分)已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下的x,f(x)对应值表:

x

1

2

3

4

5

6

7

f(x)

123.5

21.5

﹣7.82

11.57

﹣53.7

﹣26.7

﹣29.6

那么函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()

              A.              2个              B.              3个              C.              4个              D.              5个

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知识点:13.函数与方程

B

考点: 函数零点的判定定理.

专题: 计算题.

分析: 由于f(2)f(3)<0,故连续函数f(x)在(2,3)上有一个零点,同理可得f(x)在(3,4)上有一个零点,在(4,5)上有一个零点,由此得出结论.

解答: 由于f(2)f(3)<0,故连续函数f(x)在(2,3)上有一个零点.

由于f(3)f(4)<0,故连续函数f(x)在(3,4)上有一个零点.

由于f(4)f(5)<0,故连续函数f(x)在(4,5)上有一个零点.

综上可得函数至少有3个零点,

故选B

点评: 本题考查函数零点的定义和判定定理的应用,属于基础题.

     

(5分)若函数f(x)在R上是单调递减的奇函数,则下列关系式成立的是()

              A.              f(3)<f(4)              B.              f(3)<﹣f(﹣4)              C.              ﹣f(﹣3)<f(﹣4)              D.              f(﹣3)>f(﹣4)

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知识点:3.单调性与最大(小)值

C

考点: 奇偶性与单调性的综合.

专题: 函数的性质及应用.

分析: 根据函数奇偶性和单调性之间的关系,即可得到结论.

解答: ∵函数f(x)在R上是单调递减的奇函数,

∴f(3)>f(4),故A错误,

f(3)>f(4)=﹣f(﹣4),故B错误,

﹣f(﹣3)=f(3)<f(﹣4),故C正确,

f(﹣3)<f(﹣4),故D错误,

故选:C

点评: 本题主要考查函数值的大小比较,根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键.

     

(5分)已知直线l在x轴上的截距为1,且垂直于直线y=x,则l的方程是()

              A.              y=﹣2x+2              B.              y=﹣2x+1              C.              y=2x+2              D.              y=2x+1

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知识点:1.直线的倾斜角、斜率与方程

A

考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系.

专题: 直线与圆.

分析: 利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出.

解答: 设垂直于直线y=x的直线方程为y=﹣2x+m.

令y=0,解得x==1,解得m=2.

∴直线l的方程是y=﹣2x+2.

故选:A.

点评: 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系,属于基础题.

     

(5分)若两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点在圆x2+y2=4上,则k的值是()

              A.              ﹣或﹣1              B.              ﹣或1              C.              ﹣或1              D.              ﹣2或2

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知识点:4.直线与圆的位置关系

B

考点: 直线与圆的位置关系.

专题: 直线与圆.

分析: 求出直线的交点坐标,代入圆的方程求解即可.

解答: ,解得

∵交点在圆x2+y2=4上,

∴(k﹣1)2+(3k﹣1)2=4,

即5k2﹣4k﹣1=0,解得k=1或﹣

故选:B.

点评: 本题主要考查直线和圆的关系的应用,根据条件求出交点坐标是解决本题的关键.

 

     

(5分)圆台上、下底面积分别为π,4π,侧面积为6π,则该圆台的体积是        .

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知识点:3.空间几何体的表面积与体积

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积.

专题: 空间位置关系与距离.

分析: 通过圆台的底面面积,求出上下底面半径,利用侧面积公式求出母线长,然后求出圆台的高,即可求得圆台的体积.

解答: S1=π,S2=4π,∴r=1,R=2,

S=6π=π(r+R)l,∴l=2,∴h=

∴V=π(1+4+2)×=π.

故答案为:π.

点评: 本题是基础题,通过底面面积求出半径,转化为求圆台的高,是本题的难点,考查计算能力,常考题.

     

(5分)对于函数y=(的值域         .

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知识点:2.定义域与值域

考点: 函数的值域.

专题: 函数的性质及应用.

分析: 首先利用换元法求出二次函数的值域,进一步求出复合函数的单调性,最后求出复合函数的值域.

解答: 设z==

则:当x=时,函数

由于函数y=在定义域内是单调递减函数,

所以:当时,函数

函数的值域为:(

故答案为:

点评: 本题考查的知识要点:复合函数的性质的应用,利用内函数的值域求整体的值域.属于基础题型.

     

(5分)若平面α∥平面β,点A,C∈α,点B,D∈β,且AB=48,CD=25,又CD在平面β内的射影长为7,则AB和平面β所成角的度数是    .

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知识点:10.空间角与距离

30°

考点: 直线与平面所成的角.

专题: 计算题.

分析: 要求AB和平面β所成角,关键是求出两平面距离,由CD=25,CD在平面β内的射影长为7可知,从而得解.

解答: 由题意,因为CD=25,CD在β内的射影长为7,所以两平面距离为24,

设AB和平面β所成角的度数为θ

∴sinθ=

∴θ=30°

故答案为:30°

点评: 本题以面面平行为载体,考查直线与平面所成的角,关键是求出两平行平面间的距离.

     

(5分)若,则(a+1)﹣2+(b+1)﹣2的值是      .

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知识点:7.指数与指数幂的运算

考点: 有理数指数幂的化简求值.

专题: 函数的性质及应用.

分析: 由于==2+.利用乘法公式及其分母有理化即可得出.

解答: ==2+

∴(a+1)﹣2+(b+1)﹣2==+==

故答案为:

点评: 本题考查了乘法公式及其分母有理化,属于基础题.

     

(12分)若0≤x≤2,求函数y=的最大值和最小值.

答案解析:
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知识点:8.指数函数及其性质

考点: 复合函数的单调性.

专题: 函数的性质及应用.

分析: y=﹣3×2x+5=(2x2﹣3×2x+5,令2x=t,转化为关于t的二次函数,在t的范围内即可求出最值.

解答: y=﹣3×2x+5=(2x2﹣3×2x+5

令2x=t,则y=t2﹣3t+5=+

因为x[0,2],所以1≤t≤4,

所以当t=3时,ymin=

当t=1时,ymax=

所以函数的最大值为,最小值为

点评: 本题考查有理数指数幂的运算及二次函数的最值问题,本题运用了转化思想.

     

(12分)求过点A(2,﹣1),圆心在直线y=﹣2x上,且与直线x+y﹣1=0相切的圆的方程.

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知识点:4.直线与圆的位置关系

考点: 圆的切线方程.

专题: 计算题;直线与圆.

分析: 设出圆的方程,利用已知条件列出方程,求出圆的几何量,即可得到圆的方程.

解答: 设圆心为(a,﹣2a),圆的方程为(x﹣a)2+(y+2a)2=r2(2分)

(6分)

解得a=1,(10分)

因此,所求得圆的方程为(x﹣1)2+(y+2)2=2(12分)

点评: 本题考查圆的方程的求法,直线与圆的位置关系的应用,考查计算能力.

     

(14分)已知函数

(1)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;

(2)证明:函数f(x)在内是增函数.

答案解析:
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知识点:3.单调性与最大(小)值

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.

专题: 函数的性质及应用.

分析: (1)利用函数奇偶性的定义去判断.(2)利用函数单调性的定义去证明.

解答: (1)函数的定义域是(﹣∞,0)∪(0,+∞)(1分)

∴f(x)是奇函数.(5分)

(2)设,且x1<x2 (6分)

=,(7分)

∴x1﹣x2<0,x1x2﹣2>0,x1x2>0(10分)

∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)(11分)

故f(x)在内是增函数.(12分)

点评: 本题主要考查函数奇偶性的判断和单调性的判断,利用函数单调性和奇偶性的定义是解决本题的关键.

     

(14分)如图,棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中

(1)求证:AC⊥平面B1D1DB;

(2)求三棱锥B﹣ACB1的体积.

答案解析:
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知识点:3.空间几何体的表面积与体积

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定.

专题: 计算题;空间位置关系与距离.

分析: (1)利用线面垂直的判定定理,即可证明AC⊥平面B1D1DB;

(2)利用等体积转化,即可求三棱锥B﹣ACB1的体积.

解答: (1)证明:∵BB1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,

∴BB1⊥AC (3分)

在正方形ABCD中,AC⊥BD,(5分)

∵BB1∩BD=B,

∴AC⊥平面B1D1DB; (7分)

(2)三棱锥B﹣ACB1的体积=三棱锥C﹣ABB1的体积=×CB×=(14分)

点评: 本题考查线面垂直的判定定理,考查等体积转化求三棱锥B﹣ACB1的体积,属于中档题.

     

(12分)某化工厂生产的一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%.若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?(已知:lg2=0.3010,lg3=0.4771)

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知识点:14.函数的应用问题

考点: 指数函数的实际应用.

专题: 函数的性质及应用.

分析: 设出过滤次数,由题意列出基本不等式,然后通过求解指数不等式得n的取值.

解答: 设过滤n次,则

,∴n≥

又∵nN,∴n≥8.

即至少要过滤8次才能达到市场要求.

点评: 本题考查了等比数列,考查了等比数列的通项公式,训练了指数不等式的解法,是基础题.

     

(16分)已知函数f(x)=lg(ax﹣bx),a>1>b>0

(1)求f(x)的定义域;

(2)在函数f(x)的图象上是否存在不同的两点,使过这两点的直线平行于x轴;

(3)当a,b满足什么条件时,f(x)在(1,+∞)上恒取正值.

答案解析:
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知识点:10.对数函数及其性质

考点: 对数函数的单调性与特殊点;对数函数的定义域.

专题: 计算题.

分析: (1)由对数函数的真数大于零求解.

(2)当函数在定义域上单调时,则不存在,当函数在定义域上不单调时,则存在,所以要证明函数是否单调,可用定义法,也可用导数法研究.

(3)由“f(x)在(1,+∞)上恒取正值”则需函数的最小值非负即可,由(2)可知是增函数,所以只要f(1)≥0即可.

解答: (1)由ax﹣bx>0得

由于所以x>0,

即f(x)的定义域为(0,+∞)

(2)任取x1,x2(0,+∞),且x1<x2

f(x1)﹣f(x2)=

∵a>1>b>0,

∴y=ax在R上为增函数,y=bx在R上为减函数,

,即

又∵y=lgx在(0,+∞)上为增函数,

∴f(x1)<f(x2

∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.

所以任取x1≠x2则必有y1≠y2故函函数f(x)的图象L不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴.

(3)因为f(x)是增函数,所以当x(1,+∞)时,f(x)>f(1),

这样只需f(1)=lg(a﹣b)≥0,

即当a﹣b≥1时,f(x)在(1,+∞)上恒取正值.

点评: 本题主要考查函数的定义域,单调性及最值,这是常考常新的类型,在转化问题和灵活运用知识,方法方法要求较高.